Question

9．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓．
（1）求證：AC是⊙O的切線．
（2）過點E作EH⊥AB于點H，求證：EF²=CD•BF．

Answer 1

分析 （1）連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代換有∠OEB=∠CBE，那么利用內錯角相等，兩直線平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切線；
（2）連結DE，先根據AAS證明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的對應邊相等即可得出CD=HF，證明∴△BEF∽△EHF，得出對應邊成比例，即可得出結論．

解答 （1）證明：如圖1，連接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF=90°，
∴BF是圓O的直徑．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切線；
（2）證明：如圖2，連結DE．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC=EH．
∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠HFE．
在△CDE與△HFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠HFE}&{\;}\\{∠C=∠EHF=90°}&{\;}\\{EC=EH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD=HF．
∵∠BEF=∠EHF=90°，∠BFE=∠EFH，
∴△BEF∽△EHF，
∴EF²=HF•BF，
∴EF²=CD•BF．

點評 本題主要考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．