Question

18．已知：四邊形ABCD內接于⊙O，點A是弧BD的中點，過點C作⊙O的切線交弦BD的延長線于E．
（1）求證：∠DCE=∠CBD；
（2）弦AC和弦BD相交于點G，求證：EG=EC．

Answer 1

分析 （1）根據弦切角定理證明即可；
（2）根據弦、弧、圓心角的關系得到∠DCA=∠BCA，根據三角形的外角的性質、等腰三角形的判定定理證明．

解答 證明：（1）∵CE是⊙O的切線，
∴由弦切角定理得，∠DCE=∠CBD；
（2）∵點A是弧BD的中點，
∴∠DCA=∠BCA，
又∠DCE=∠CBD，
∴∠DCA+∠DCE=∠BCA+∠CBD，即∠ECG=∠EGC，
∴EG=EC．

點評 本題考查的是切線的性質、圓內接四邊形的性質，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．