Question

7．如圖，已知BC是⊙O的直徑，AH⊥BC，垂足為D，點A為$\widehat{BF}$的中點，BF交AD于點E，且BE•EF=32，AD=6
（1）求證：AE=BE；
（2）求DE、BD的長．

Answer 1

分析 （1）連接AF，根據(jù)圓周角定理求得；
（2）設(shè)DE=x（x＞0），由AD=6，BE•EF=32，AE•EH=BE•EF，可列式為（6-x）（6+x）=32，由（1）知BE=AE=6-2=4，根據(jù)Rt△BDE中的勾股定理求解．

解答 （1）證明：連AF，
∵A是$\widehat{BF}$的中點，
∴∠ABE=∠AFB．
又∠AFB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB．
∵BC為直徑，
∴∠BAC=90°，AH⊥BC．
∴∠BAE=∠ACB．
∴∠ABE=∠BAE．
∴AE=BE．

（2）解：設(shè)DE=x（x＞0），由AD=6，BE•EF=32，AE•EH=BE•EF，
則（6-x）（6+x）=32，
解得x=2，即DE的長為2；
由（1）得BE=AE=6-2=4，
在Rt△BDE中，BD=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查的是圓周角定理，勾股定理，垂徑定理的運用．牢固掌握該定理可在綜合題型中靈活運用．