Question

12．已知△ABC內接于⊙O，BD⊥AO于點D．
（1）如圖1，求證：∠ABD=∠ACB；
（2）如圖2，延長BD，依次交AC，⊙O于點E，F，若∠ABC=2∠ACB，求證：BF=AC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接FO并延長，交AC邊于點G，交BC邊于點H，若FH=6，AB=5，求線段OH的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，延長AD交⊙O于H，連接BH．首先證明∠ABD=∠H，由∠H=∠ACB即可證明．
（2）由（1）可知，∠ABD=∠ACB，由∠ABC=2∠ACB，推出∠FBC=∠C，推出$\widehat{FC}$=$\widehat{AB}$，推出$\widehat{BF}$=$\widehat{AC}$，推出BF=AC．
（3）如圖3中，連接AF、CF、AH．首先證明四邊形AFCH是平行四邊形，推出FG=GH=3，在Rt△AGF中，AG=$\sqrt{A{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，設OA=OF=r，
在Rt△AOG中，由OA²=AG²+OG²，可得r²=4²+（r-3）²，求出r即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，延長AD交⊙O于H，連接BH．

∵AB是直徑，
∴∠ABH=90°，
∴∠ABD+∠HBD=90°，
∵BD⊥AH，
∴∠BDH=90°，
∴∠H+∠HBD=90°，
∴∠H=∠ABD，
∵∠H=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACB．

（2）證明：如圖2中，

由（1）可知，∠ABD=∠ACB，
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠FBC=∠C，
∴$\widehat{FC}$=$\widehat{AB}$，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{AC}$，
∴BF=AC．

（3）解：如圖3中，連接AF、CF、AH．

由（2）可知∠ABF=∠ACB=∠FBC=∠ACF，
∴$\widehat{AF}$=$\widehat{FC}$=$\widehat{AB}$，
∴AF=FC=AB=5，OF⊥AC，∠FAC=∠ACB，
∴AG=GC，AF∥CH，
在△AFG和△CHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAG=∠HCG}\\{AG=GC}\\{∠AGF=∠CGH}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△CHG，
∴AF=CH，
∴四邊形AFCH是平行四邊形，
∴FG=GH=3，
在Rt△AGF中，AG=$\sqrt{A{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，設OA=OF=r，
在Rt△AOG中，∵OA²=AG²+OG²，
∴r²=4²+（r-3）²，
解得r=$\frac{25}{6}$，
∴OG=$\frac{7}{6}$，
∴OH=GH-OG=3-$\frac{7}{6}$=$\frac{11}{6}$．

點評 本題考查圓綜合題、圓周角定理、全等三角形的判定和性質、勾股定理、平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題．