Question

4．如圖，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAC交BD于E，則DE的長為2．

Answer 1

分析 如圖作EH⊥AB于H．由EA平分∠BAO，EH⊥AB，EO⊥AC，推出EH=EO，設EH=EO=a，則BE=$\sqrt{2}$a，可得a+$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$，解得a=2-$\sqrt{2}$，由此解決問題．（也可以證明∠DAE=∠DEA=67.5°，推出DA=DE=2．）

解答 解：如圖作EH⊥AB于H．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2，BD=AC=2$\sqrt{2}$，OD=OB=$\sqrt{2}$，
∵EA平分∠BAO，EH⊥AB，EO⊥AC，
∴EH=EO，設EH=EO=a，則BE=$\sqrt{2}$a，
∴a+$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$，解得a=2-$\sqrt{2}$，
∴DE=OD+OE=$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{2}$=2．
（也可以證明∠DAE=∠DEA=67.5°，推出DA=DE=2．）
故答案為2．

點評 本題考查正方形的性質、角平分線的性質定理、等腰三角形的判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，利用計算角度的方法證明DA=DE比較簡單，屬于中考常考題型．