Question

2．如圖，在△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AB=1，作等腰三角形△ACD，使∠CAD=30°，且點D和B位于AC異側，連結BD交AC于點O
（1）請在所給圖形基礎上畫出符合要求的其中一個草圖，并在圖中找出相似三角形后說明理由
（2）在（1）的條件下，求出AO長．

Answer 1

分析 （1）根據△ACD是等腰三角形，∠CAD=30°，且點D和B位于AC異側，進行作圖；根據AD∥BC，即可得出△AOD∽△COB；
（2）分三種情況進行討論：①AD=CD；②AD=AC；③AC=DC，分別根據等腰三角形的性質，以及相似三角形的性質進行計算求解．

解答 解：（1）如圖所示，等腰三角形△ACD即為所求；
圖中，△AOD∽△COB，
理由：∵△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，而∠CAD=30°，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴△AOD∽COB；

（2）①如圖所示，當AD=CD時，過D作DE⊥AC于E，
∵AD=CD，∠CAD=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC，AD=2DE，
∵△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=1，
∴AC=2AB=2，BC=$\sqrt{3}$，
∴AE=1，
∴Rt△AED中，DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AD=2DE=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∵△AOD∽COB，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{AD}{CB}$，即$\frac{AO}{2-AO}$=$\frac{\frac{2}{3}\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$，
解得AO=$\frac{4}{5}$；

②如圖所示，當AD=AC=2時，
根據△AOD∽△COB可得，$\frac{AO}{CO}$=$\frac{AD}{CB}$，
即$\frac{AO}{2-AO}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
解得AO=8-4$\sqrt{3}$；

③如圖所示，當AC=CD時，過C作CE⊥AD，則
四邊形ABCE是矩形，即AE=BC=$\sqrt{3}$，
∵AC=CD，
∴AD=2AE=2$\sqrt{3}$，
根據△AOD∽△COB可得，$\frac{AO}{CO}$=$\frac{AD}{CB}$，
即$\frac{AO}{2-AO}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$，
解得AO=$\frac{4}{3}$．
綜上所述，AO長為$\frac{4}{5}$或8-4$\sqrt{3}$或$\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質以及相似三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是根據題意畫出圖形，解題時注意分類思想的運用．