Question

18．已知拋物線y=x²與動直線y=tx-c有公共點（x₁，y₁）、（x₂，y₂），且x₁²+x₂²=t²-2t-3．求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 利用拋物線的圖象性質(zhì)可以知道拋物線y=x²的圖象開口向上最低點為原點，它與直線有交點則可以聯(lián)立求解方程有兩個實數(shù)根，便可一切定出t的取值范圍．

解答 解：聯(lián)立y=x²與y=tx-c，
消去y得二次方程x²-tx+c=0①
有實數(shù)根x₁，x₂，則x₁+x₂=t，x₁x₂=c．
所以c=x₁x₂=$\frac{1}{2}$[（x₁+x₂）²-（x₁²+x₂²）]=$\frac{1}{2}$[t²-（t²-2t-3）]=t+$\frac{3}{2}$②
把②式代入方程①得x²-tx+t+$\frac{3}{2}$=0③
t的取值應(yīng)滿足t²-2t-3=x₁²+x₂²≥0，④
且使方程③有實數(shù)根，即△=t²-4（t+$\frac{3}{2}$）=t²-4t-6≥0，⑤
解不等式④得t≤-1或t≥3，
解不等式⑤得t≥2+$\sqrt{10}$或t≤2-$\sqrt{10}$．
所以，t的取值范圍為t≤2-$\sqrt{10}$或t≥2+$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，以及二次函數(shù)求最值的相關(guān)知識，難度較大．