Question

4．【感受聯系】在初二的數學學習中，我們感受過等腰三角形與直角三角形的密切聯系．等腰三角形作底邊上的高線可轉化為直角三角形，直角三角形沿直角邊翻折可得到等腰三角形等等．
【探究發現】某同學運用這一聯系，發現了“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”．并給出了如下的部分探究過程，請你補充完整證明過程
已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
求證：BC=$\frac{1}{2}$AB．
證明：
【靈活運用】該同學家有一張折疊方桌如圖2①所示，方桌的主視圖如圖2②．經測得OA=OB=90cm，OC=OD=30cm，將桌子放平，兩條桌腿叉開的角度∠AOB=120°．求：桌面與地面的高度．

Answer 1

分析 【探究發現】取AB的中點D，連接CD．根據直角三角形的性質得到CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，推出△DBC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可得到結論；
【靈活運用】：過O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于點F根據等腰三角形的性質得到∠A=30°，根據直角三角形的性質即可得到結論．

解答 解：【探究發現】
如圖1，取AB的中點D，連接CD．
∵在Rt△ABC中，點D是AB的中點，
∴CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△DBC是等邊三角形，
∴BC=CD=DB，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB；

【靈活運用】：如圖②，過O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于點F
∵OA=OB，∠AOB=120°
∴∠A=30°，
在Rt△AOE中，OA=90，∠A=30°
∴OE=45，
同理：OF=15，
所以，桌面與地面的高度是60cm．

點評 本題考查了含30°角的直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．