Question

6．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為E．過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF，AF．現有如下結論：
①AD平分∠CAB；②BF=2；③AD⊥CF；④AF=2$\sqrt{5}$；⑤∠CAF=∠CFB．
其中正確的結論有（　　）

• A． 5個
• B． 4個
• C． 3個
• D． 2個

Answer 1

分析 ①錯誤．由CD=DB，推出AD是△ACB的中線，如果是角平分線，則AC=BC，顯然與已知矛盾，故錯誤．
②正確．易證△DBF是等腰直角三角形，故BF=BD=2．
③正確．由△ACD≌△CBF，推出∠CAD=∠BCF，由∠BCF+∠ACF=90°，推出∠CAD+∠ACF=90°，即AD⊥CF．
④正確．在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，易證AF=AD=2$\sqrt{5}$．
⑤正確．于△ACD≌△CBF，推出AD=CF=AF，推出∠CAF=∠FCA，于AC∥BF，即可推出∠CFB=∠FCA=∠CAF．

解答 解：①錯誤．∵CD=DB，
∴AD是△ACB的中線，如果是角平分線，則AC=BC，顯然與已知矛盾，故錯誤．
②正確．易證△DBF是等腰直角三角形，故BF=BD=2．
③正確．∵AC=BC，∠ACD=∠CBF，CD=BF，
∴△ACD≌△CBF，
∴∠CAD=∠BCF，
∵∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠CAD+∠ACF=90°，
∴AD⊥CF．
④正確．在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，易證AF=AD=2$\sqrt{5}$．
⑤正確．∵△ACD≌△CBF，
∴AD=CF=AF，
∴∠CAF=∠FCA，
∵AC∥BF，
∴∠CFB=∠FCA=∠CAF．
故選B．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、平行線的性質、等腰直角三角形的性質、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．