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6.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D為BC的中點,DE⊥AB,垂足為E.過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F,連接CF,AF.現有如下結論:
①AD平分∠CAB;②BF=2;③AD⊥CF;④AF=2$\sqrt{5}$;⑤∠CAF=∠CFB.
其中正確的結論有(  )
A.5個B.4個C.3個D.2個

分析 ①錯誤.由CD=DB,推出AD是△ACB的中線,如果是角平分線,則AC=BC,顯然與已知矛盾,故錯誤.
②正確.易證△DBF是等腰直角三角形,故BF=BD=2.
③正確.由△ACD≌△CBF,推出∠CAD=∠BCF,由∠BCF+∠ACF=90°,推出∠CAD+∠ACF=90°,即AD⊥CF.
④正確.在Rt△ACD中,AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,易證AF=AD=2$\sqrt{5}$.
⑤正確.于△ACD≌△CBF,推出AD=CF=AF,推出∠CAF=∠FCA,于AC∥BF,即可推出∠CFB=∠FCA=∠CAF.

解答 解:①錯誤.∵CD=DB,
∴AD是△ACB的中線,如果是角平分線,則AC=BC,顯然與已知矛盾,故錯誤.
②正確.易證△DBF是等腰直角三角形,故BF=BD=2.
③正確.∵AC=BC,∠ACD=∠CBF,CD=BF,
∴△ACD≌△CBF,
∴∠CAD=∠BCF,
∵∠BCF+∠ACF=90°,
∴∠CAD+∠ACF=90°,
∴AD⊥CF.
④正確.在Rt△ACD中,AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,易證AF=AD=2$\sqrt{5}$.
⑤正確.∵△ACD≌△CBF,
∴AD=CF=AF,
∴∠CAF=∠FCA,
∵AC∥BF,
∴∠CFB=∠FCA=∠CAF.
故選B.

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、平行線的性質、等腰直角三角形的性質、角平分線的定義等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,屬于中考常考題型.

練習冊系列答案
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16.若直角三角形的兩條直角邊長分別是6和8,則它的外接圓半徑為(  )
A.$\sqrt{7}$B.4C.5D.10

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14.若單項式x2ym-n與單項式-$\frac{1}{2}{x^{2m+n}}{y^3}$是同類項,那么這兩個多項式的和是(  )
A.$\frac{1}{2}{x^4}{y^6}$B.$\frac{1}{2}{x^2}{y^3}$C.$\frac{3}{2}{x^2}{y^3}$D.$-\frac{1}{2}{x^2}{y^3}$

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1.一只不透明的袋子中裝有4個質地、大小均相同的小球,這些小球分別標有數字2,3,4,x,甲、乙兩人每次同時從袋中各隨機摸出1個球,并計算摸出的這2個小球上數字之和,記錄后都將小球放回袋中攪勻,進行重復試驗,實驗數據如下表:
摸球總次數20306090120180240330450
“和為6”出現的頻數10132430375882110150
“和為6”出現的頻數0.500.430.400.330.310.320.340.330.33
解答下列問題:
(1)如果實驗繼續進行下去,根據上表數據,出現“和為6”的頻率將穩定在它的概率附近,估計出現“和為6”的概率是0.33.
(2)當x=5時,請用列表法或樹狀圖法計算“和為6”的概率
(3)判斷x=5是否符合(1)的結論,若符合,請說明理由,若不符合,請你寫出一個符合(1)的x的值.

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11.化簡:
(1)(2x-1)(2x+1)+(4x+3)(x-6)
(2)(2a+3b)2-4a(a+3b)

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18.阿里巴巴數據顯示,2016年天貓商城“雙11”全球狂歡交易額超1207億元,數據1207億元用科學記數法表示為(  )
A.120.7×109B.12.07×1010C.1.207×1011D.0.1207×1012

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16.在平面直角坐標系中,△ABC的頂點A、B、C的坐標分別為(-1,2)、(-3,1)、(0,-1).
(1)將△ABC向右平移5個單位,向下平移2個單位得到△A1B1C1,寫出△A1B1C1各頂點的坐標;
(2)△ABC繞點O旋轉180°后得到△A2B2C2,寫出△A2B2C2各頂點的坐標;
(3)將△ABC的各頂點的橫、縱坐標都乘以2,三角形的形狀和大小有什么變化?

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