Question

9．如圖．在菱形ABCD中，BC邊的中垂線EF交AD邊于F，G是CD中點(diǎn)．
（1）求證：EG=FG；
（2）若△DFG為等腰三角形，求∠D的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，延長(zhǎng)FH交BC的延長(zhǎng)線于M，由△FDH≌△MCH，推出FH=HM，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可解決問題．
（2）分兩種情形①當(dāng)FD=FH時(shí)，設(shè)∠M=∠DFH=x，構(gòu)建方程解決問題．②當(dāng)∠D=90°時(shí)，易知DF=DH，△DEF是等腰直角三角形．

解答 （1）證明：如圖1中，延長(zhǎng)FH交BC的延長(zhǎng)線于M/

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BM，
∴∠DFH=∠M，
在△FDH和△MCH中，‘
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFH=∠M}\\{∠FHD=∠CHM}\\{DH=HC}\end{array}\right.$，
∴△FDH≌△MCH，
∴FH=HM，
∵FE⊥BC，
∴∠FEM=90°，
∴EH=FH=HM，
∴EH=FH．

（2）解：如圖2中，

①當(dāng)FD=FH時(shí)，設(shè)∠M=∠DFH=x，
∵BE=EC，CH=DH，BC=CD，
∴EC=CH，
∴∠CEH=∠CHE，
∵HE=HM，
∴∠CEH=∠CHE=∠M=x，
∴∠HCM=∠ECH+∠EHC=2x=∠D=∠FHD，
∵∠DFH+∠D+∠FHD=180°，
∴x+2x+2x=180°，
∴5x=180°，
∴x=36°，
∴∠D=72°．
②當(dāng)∠D=90°時(shí)，易知DF=DH，△DEF是等腰直角三角形，
綜上所述，當(dāng)△DFH是等腰三角形時(shí)，∠D=72°或90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、直角三角形斜邊中線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．