Question

18．如圖1，在線段BE上取一點(diǎn)C，分別以CB，CE為腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，連接BD和AE．

（1）請判斷線段BD和線段AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，若B，C，E 三點(diǎn)不共線，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得到BC=AC，DC=CE，∠BCD=∠ACE=90°，然后依據(jù)SAS證明△BCD≌△ACE，接下來，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到BD=AE；
（2）依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得到BC=AC，DC=CE，∠BCD=∠ACE=90°，然后利用等式的性質(zhì)證明∠BCD=∠ACE，然后依據(jù)SAS證明△BCD≌△ACE，接下來，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到BD=AE．

解答 解：（1）∵△BCA和△DCE均為等腰直角三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠BCD=∠ACE=90°．
在△BCD和△ACE中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE．
∴BD=AE．
（2）成立．
∵△BCA和△DCE均為等腰直角三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠BCD=∠ACE=90°．
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE．
在△BCD和△ACE中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE．
∴BD=AE．

點(diǎn)評 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．