Question

13．如圖，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H．
（1）求證：CF=CH；
（2）△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°，證明：四邊形ACDM是菱形．

Answer 1

分析 （1）先根據直角三角形的性質得出∠1=∠2，再由AAS定理得出△CFA≌△CHD，進而可得出結論；
（2）根據∠BCE=45°得出∠1=∠2=45°．根據∠E=∠B=45°得出∠1=∠E，∠2=∠B，故可得出四邊形ACDM是平行四邊形，再由AC=CD即可得出結論．

解答 （1）證明：在△ACB和△ECD中，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB，
∴∠1=∠2；
又∵AC=CE=CB=CD，
∴∠A=∠D=45°；
在△CFA和△CHD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠A=∠D}\\{CA=CD}\end{array}\right.$，
∴△CFA≌△CHD（AAS），
∴CF=CH．

（2）證明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=45°，∠2=45°．
又∵∠E=∠B=45°，
∴∠1=∠E，∠2=∠B，
∴AC∥MD，CD∥AM，
∴四邊形ACDM是平行四邊形，
又∵AC=CD，
∴平行四邊形ACDM是菱形．

點評 本題考查的是旋轉的性質，熟知圖形旋轉不變性的性質是解答此題的關鍵．