Question

15．探究問題：（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證：DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠FAE．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點，滿足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明點G，B，F(xiàn)在同一條直線上，再證明△GAF≌△EAF，可得結(jié)論；
（2）同理作輔助線，如圖②，將△ADE繞A順時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)，此時，AD與AB重合，證明△GAF≌△EAF，同理可以得出EF=BG+BF=DE+BF；
（3）當(dāng)∠B與∠D滿足∠D+∠B=180°時，可使得DE+BF=EF，理由是將△ADE繞A順時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)，同理證明△GAF≌△EAF，得EF=BG+BF=DE+BF．

解答 解：（1）將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上．
∵∠EAF=45°
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠FAE．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF，故DE+BF=EF．
故答案：FAE，△EAF，GF；
（2）如圖②，DE+BF=EF，理由是：
將△ADE繞A順時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)，此時，AD與AB重合，
由旋轉(zhuǎn)得：BG=DE，∠1=∠2，AE=AG，
∠ABG=∠D=90°，
同理得：點G，B，F(xiàn)在同一條直線上，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠BAF+∠EAD=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠BAF+∠GAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠GAF=∠EAF，
∵AE=AG，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF，
∴EF=GF，
∴EF=BG+BF=DE+BF；
（3）當(dāng)∠B與∠D滿足∠D+∠B=180°時，可使得DE+BF=EF，理由是：
將△ADE繞A順時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)，此時，AD與AB重合，
由旋轉(zhuǎn)得：BG=DE，∠GAB=∠DAE，AE=AG，
∠ABG=∠D，
∵∠D+∠ABC=180°
∴∠ABC+∠ABG=180°
∴點G，B，F(xiàn)在同一條直線上，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠BAF+∠EAD=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠BAF+∠GAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠GAF=∠EAF，
∵AE=AG，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF，
∴EF=GF，
∴EF=BG+BF=DE+BF；

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定，本題運用了類比的思想，通過旋轉(zhuǎn)三角形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)再證明另一對三角形全等，來解決線段的和差問題．