Question

10．在平面直角坐標系xOy中，有一點C，過點C分別作CA⊥x軸，CB⊥y軸，點A、B是垂足．
定義：若長方形OACB的周長與面積的數(shù)值相等，則點C是平面直角坐標系中的平衡點．
（1）請判斷下列是平面直角坐標系中的平衡點的是②；（填序號）
①E（1，2）②F（-4，4）
（2）若在第一象限中有一個平衡點N（4，m）恰好在一次函數(shù)y=-x+b（b為常數(shù)）的圖象上；
①求m、b的值；
②一次函數(shù)y=-x+b（b為常數(shù)）與y軸交于點D，問：在這函數(shù)圖象上，是否存在點M，使S_△OMD=3S_△OND，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）過點P（0，-2），且平行于x軸的直線上有平衡點Q嗎？若有，請求出平衡點Q的坐標；若沒有，說明理由．

Answer 1

分析 （1）計算1×2≠2×（|-1|+2），4×4=2×（4+4）即可求得答案；
（2）①（4+m）×2=4m，可求出m，把N點坐標代入一次函數(shù)解析式可求得b；②由一次函數(shù)解析式可求得D點坐標，則可求得△OND的面積，由條件則可求得點M到y(tǒng)軸的距離，則可求得M點的坐標；
（3）可設Q點坐標為（x，-2），由平衡點的定義可得到關于x的方程，解方程進行判斷即可．

解答 解：
（1）∵1×2≠2×（|-1|+2），4×4=2×（|-4|+4），
∴點E不是平衡點，點N是平衡點，
故答案為：②；
（2）①∵N是第一象限中的平衡點，
∴4m=2（4+m），解得m=4，
∴N（4，4），
∵N點在y=-x+b的圖象上，
∴4=-4+b，解得b=8；
②由①可知一次函數(shù)解析式為y=-x+8，
∴D（0，8），
∴OD=8，且N（4，4），
∴S_△OND=$\frac{1}{2}$×4×8=16，
∴S_△OMD=3S_△OND=3×16=48，
設M坐標為（t，-t+8），則M到y(tǒng)軸的距離為|t|，
∴$\frac{1}{2}$×8×|t|=48，解得t=12或t=-12，
當t=12時，-t+8=-4，當t=-12時，-t+8=20，
∴存在滿足條件的點M，其坐標為（12，-4）或（-12，20）；
（3）∵PQ∥x軸，且P（0，-2），
∴可設點Q坐標為（x，-2），
∵點Q為平衡點，
∴2|x|=2（|x|+2），該方程無解，
∴不存在滿足條件的Q點．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、三角形面積、新定義、分類討論及方程思想等知識點．解決本題的關鍵是理解題目中所給的平衡點的定義．本題考查知識點不多，難度不大．