Question

2．拋物線y=x²+4ax+b與x軸相交于O、A兩點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)P（2，2a）作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C（其中B、C不重合），連接AP交y軸于點(diǎn)N，連接BC和PC．
（1）a=$\frac{3}{2}$時(shí)，求拋物線的解析式和BC的長(zhǎng)；
（2）如圖a＜-1時(shí)，若AP⊥PC，求a的值．

Answer 1

分析 （1）令a=$\frac{3}{2}$代入拋物線，由于拋物線過原點(diǎn)，所以b=0，從而求出拋物線的解析式，然后根據(jù)條件求出點(diǎn)B與C的坐標(biāo)即可求出BC的長(zhǎng)度．
（2）由題意可知b=0，然后根據(jù)P的坐標(biāo)分別求出A、B、C、M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出BC、BP、PM、AM的長(zhǎng)度，最后利用△AMP∽△BPC列出關(guān)于a的方程即可求出a的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，
∴拋物線為：y=x²+6x+b，
∴對(duì)稱軸為x=-3，
又∵拋物線過原點(diǎn)，
∴b=0，
∴y=x²+6x，
∴令x=2代入y=x²+6x，
∴y=16，
∴B（2，16），
∵點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，
∴C（-8，16），
∴BC=2-（-8）=10，
（2）由于拋物線過原點(diǎn)O，
∴b=0，
∴y=x²+4ax，
令x=2代入y=x²+4ax，
∴y=4+8a，
∴B（2，4+8a），
∵∵點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，
拋物線的對(duì)稱軸為x=-2a，
∴C（-4a-2，4+8a），
∵O與A關(guān)于x=-2a對(duì)稱，
∴A（-4a，0），
∴BC=-4a-2-2=-4a-4，
∵P（2，2a），
∴M（2，0），
∴PM=0-2a=-2a，AM=-4a-2，
BP=2a-（4+8a）=-4-6a，
∵AP⊥PC，
∴∠APM=∠PCB，
∴△AMP∽△BPC，
∴$\frac{BP}{AM}=\frac{BC}{PM}$，
∴$\frac{-4-6a}{-4a-2}$=$\frac{-4a-4}{-2a}$，
∴a=-2$±\sqrt{2}$，
∵a＜-1，
∴a=-2-$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，待定系數(shù)求解析式等知識(shí)，知識(shí)較為綜合，屬于中等題型．