Question

17．已知點O是直線AB上一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如圖1，若∠AOC=40°，求∠DOE的度數；
（2）在圖1中，若∠AOC=α，請直接寫出∠DOE的度數（用含α的代數式表示）；
（3）將圖1中的∠COD按順時針方向旋轉至圖2所示的位置，探究∠AOC與∠DOE的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得∠BOC，再根據角平分線的性質得出∠COE，根據余角的性質得出∠DOE的度數；
（2）把數字換成希臘字母表示，同（1）的方法即可得出∠DOE的度數（用含α的代數式表示）；
（3）結論是：∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC．由平角的定義得出∠AOC+∠BOC=180°，再根據角平分線的性質得出∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC，即可代換出∠AOC與∠DOE的關系．

解答 解：（1）∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×140°=70°，
∵∠COD是直角，∴∠COE+∠DOE=90°，
∴∠DOE=90°-∠COE=90°-70°=20°．
（2）若∠AOC=α，則∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{α}{2}$．
（3）結論是：∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC．
理由是：∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°-∠AOC，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∵∠COD是直角，
∴∠COE+∠DOE=90°，
∴∠DOE=90°-∠COE=90°-$\frac{1}{2}$∠BOC
=90°-$\frac{1}{2}$（180°-∠AOC）
=$\frac{1}{2}$∠AOC．

點評 本題考查了角平分線的定義，是基礎題，難度不大，掌握各角之間的關系是解題的關鍵．