Question

6．已知：分別連接正方形對邊的中點，能將正方形劃分成四個面積相等的小正方形．用上述方法對一個邊長為1的正方形進行劃分：第1次劃分得到圖1，圖1中共有5個正方形；第2次，劃分圖1左上角的正方形得到圖2，圖2中共有9個正方形；…；若每次都把左上角的正方形按上述方法依次劃分下去．請從下列的A、B兩題中任選一題作答．我選擇A題．
A．第n次劃分得到的圖中共有4n+1個正方形．（用含n的式子表示）
B．借助劃分得到的圖形，計算（$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$+$\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{3}{{4}^{n}}$）的結果為1-$\frac{1}{{4}^{n}}$．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 （1）（1）由第一次可得5個正方形，第二次可得9個正方形，第三次可得13個正方形，可得規律：第n次可得（4n+1）個正方形；
（2）此題可看作上面幾何體面積問題，即可求得答案．

解答 解：我選擇第A題，
故答案為：A，
（1）∵第一次可得5個正方形，第二次可得9個正方形，第三次可得13個正方形，
∴第n次可得（4n+1）個正方形，
故答案為：4n+1；

（2）根據題意得：原式=（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{{4}^{2}}$）+（$\frac{1}{{4}^{2}}$-$\frac{1}{{4}^{3}}$）+…+（$\frac{1}{{4}^{n-1}}$-$\frac{1}{{4}^{n}}$）=1-$\frac{1}{{4}^{n}}$，
故答案為：1-$\frac{1}{{4}^{n}}$．

點評 此題考查了規律問題．注意根據題意得到規律：第n次可得（4n+1）個正方形是解此題的關鍵．