Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，∠AOC的平分線交AB于點D，E為BC的中點，已知A（0，4）、C（5，0），二次函數y=$\frac{1}{5}$x²+bx+c的圖象拋物線經過A、C兩點．
（1）求該二次函數的表達式；
（2）F、G分別為x軸、y軸上的動點，首尾順次連接D、E、F、G構成四邊形DEFG，求四邊形DEFG周長的最小值；
（3）拋物線上是否存在點P，使△ODP的面積為8？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法，可得函數解析式；
（2）首先作D關于y軸的對稱點D′，作E關于x軸的對稱點E′，連接D′E′，分別交x軸、y軸于點F，G，連接D′G、E′F，從而得（DG+GF+EF+ED）的最小值=D′E′+DE，求出D′E′與DE的長即可得到答案．
（3）根據三角形的面積，首先求得點P到OD的距離，然后過點O作OF⊥OD，使OF等于點P到OD的距離，過點F作FG∥OD，求得FG的解析式，然后再求直線FG與拋物線交點的坐標即可得到點P的坐標．

解答 解：（1）∵A（0，4）、C（5，0），二次函數y=$\frac{1}{5}$x²+bx+c的圖象拋物線經過A、C兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{\frac{1}{5}×{5}^{2}+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{b=-\frac{9}{5}}\end{array}\right.$，
∴該二次函數的表達式為：y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{9}{5}$x+4；

（2）∵四邊形OABC為矩形，
∴∠BAO=∠AOC=90°，AB=OC=5，BC=OA=4，
∴B（5，4），
∵E為BC中點，
∴E（5，2），
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOC=45°，
∴∠ADO=∠AOD=45°，
∴AD=OA=4，
∴D（4，4），
如圖1，作D關于y軸的對稱點D′，作E關于x軸的對稱點E′，連接D′E′，分別交x軸、y軸于點F，G，連接D′G、E′F，
則D′（-4，4），E′（5，-2），且D′G=DG，E′F=EF，
四邊形DEFG的周長=DE+EF+FG+GD=DE+E′F+FG+GD′≥DE+E′D′，
根據勾股定理，DE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，D′E′=$\sqrt{{9}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
∴四邊形DEFG周長的最小值是：$\sqrt{5}$+3$\sqrt{13}$；

（3）如圖2：OD=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∵S_△ODP=8，
∴點P到OD的距離=$\frac{2{S}_{△OPD}}{OD}$=2$\sqrt{2}$．
過點O作OF⊥OD，取OF=2$\sqrt{2}$，過點F作直線FG∥OD，交拋物線與點P₁，P₂，
∵∠OGF=∠AOD=45°，
∴FG=OF=2$\sqrt{2}$，
∴在Rt△OGF中，OG=$\sqrt{O{F}^{2}+F{G}^{2}}$=4，
∴直線GF的解析式為y=x-4，
將y=x-4代入y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{9}{5}$x+4，得：x₁=4，x₂=10，
∴P₁（4，0），P₂（10，6）；
如圖3所示：
過點O作OF⊥OD，取OF=2$\sqrt{2}$，過點F作直線FG交拋物線與P₃，P₄，
在Rt△PFO中，OG=$\sqrt{O{F}^{2}+F{G}^{2}}$=4，
∴直線GF的解析式為y=x+4，
將y=x+4代入y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{9}{5}$x+4，得：x₁=0，x₂=14，
∴P₃（0，4），P₄（14，18）；
綜上所述：P₁（4，0），P₂（10，6），P₃（0，4），P₄（14，18）．

點評 此題屬于二次函數的綜合題．考查了待定系數求函數解析式的知識、矩形的性質、最短路徑問題以及勾股定理等知識．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵，利用分類討論思想求解是關鍵．