Question

16．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于點D，且AD=$\frac{1}{2}$BC，則銳角∠C的度數為45°或75°或15°或30°．

Answer 1

分析 （1）當∠C為底角時，分三種情況討論，先根據題意分別畫出圖形，當AB=AC時，根據已知條件得出AD=BD=CD，從而得出△ABC底角的度數；當AB=BC時，先求出∠ABD的度數，再根據AB=BC，求出底角的度數；當AB=BC時，根據AD=$\frac{1}{2}$BC，AB=BC，得出∠DBA=30°，從而得出∠C的度數；
（2）當∠C為頂角時，根據等腰三角形的性質和直角三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）當∠C為底角時，
①如圖1，當AB=AC時，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠C=45°；
②如圖2，當AB=BC時，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ABD=30°，
∴∠C=75°；
③如圖3，當AB=BC時，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，AB=BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠DBA=30°，
∴∠C=15°；
（2）當∠C為頂角時，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠C=30°，
∴∠C的度數為45°或75°或15°或30°；
故答案為：45°或75°或15°或30°．

點評 此題考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性質，關鍵是根據題意畫出圖形，注意不要漏解．