Question

12．如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點B在第一象限，點C在x軸上，點A在y軸上，D、E分別是AB，OA中點．過點D的雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k＞0）與BC交于點G．連接DC，F在DC上，且DF：FC=3：1，連接DE，EF．若△DEF的面積為6，則k的值為（　　）

• A． $\frac{16}{3}$
• B． $\frac{32}{3}$
• C． 6
• D． 10

Answer 1

分析 設矩形OABC中OA=2a、AB=2b，由D、E分別是AB，OA中點知點D（b，2a）、E（0，a），過點F作FP⊥BC于點P，延長PF交OA于點Q，可得四邊形OCPQ是矩形，即OQ=PC、PQ=OC=2b，證△CFP∽△CDB得$\frac{CP}{CB}$=$\frac{FP}{DB}$=$\frac{CF}{CD}$，可得CP=$\frac{a}{2}$，FP=$\frac{b}{4}$、EQ=EO-OQ=$\frac{a}{2}$、FQ=PQ-PF=$\frac{7b}{4}$，根據S_梯形ADFQ-S_△ADE-S_△EFQ=6求得ab即可得答案．

解答 解：設矩形OABC中OA=2a，AB=2b，
∵D、E分別是AB，OA中點，
∴點D（b，2a）、E（0，a），
如圖，過點F作FP⊥BC于點P，延長PF交OA于點Q，

∵四邊形OABC是矩形，
∴∠QOC=∠OCP=∠CPQ=90°，
∴四邊形OCPQ是矩形，
∴OQ=PC，PQ=OC=2b，
∵FP⊥BC、AB⊥BC，
∴FP∥DB，
∴△CFP∽△CDB，
∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{FP}{DB}$=$\frac{CF}{CD}$，即$\frac{CP}{2a}=\frac{FP}{b}=\frac{1}{4}$，
可得CP=$\frac{a}{2}$，FP=$\frac{b}{4}$，
則EQ=EO-OQ=a-$\frac{a}{2}$=$\frac{a}{2}$，FQ=PQ-PF=2b-$\frac{b}{4}$=$\frac{7b}{4}$，
∵△DEF的面積為6，
∴S_梯形ADFQ-S_△ADE-S_△EFQ=6，
即$\frac{1}{2}$•（b+$\frac{7}{4}$b）•$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$ab-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{4}$b•$\frac{a}{2}$=6，
可得ab=$\frac{16}{3}$，
則k=2ab=$\frac{32}{3}$，
故選：B

點評 本題主要考查反比例函數系數的幾何意義及相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質及三角形的面積，利用相似三角形的判定與性質表示出點F的坐標是解題的關鍵．