Question

7．如圖①，P是等腰三角形ABC底邊BC上的一個動點，過點P作BC的垂線，交直線AB于點Q，交CA的延長線于點R．
（1）請觀察AR與AQ，它們有何數量關系？證明你的猜想．
（2）如果點P沿著底邊BC所在的直線，按由C向B的方向運動到CB的延長線上時，（1）中所得的結論還成立嗎？請你在圖②中完成圖形，并給予證明．

Answer 1

分析 （1）利用△ABC是等腰三角形，可知AB=AC，∠B=∠C，利用同角的余角相等即可求證∠AQR=∠R，從而可知AR=AQ；
（2）證明方法與（1）類似

解答 （1）AR=AQ，證明如下：
∵△ABC是等腰三角形
∴AB=AC，∠B=∠C
又∵PR⊥BC
∴∠RPC=90°
∴∠C+∠R=90°，∠B+∠BQP=90°
∵∠BQP=∠AQR
∴∠AQR=∠R
∴AR=AQ

（2）AR=AQ仍然成立：
∵△ABC是等腰三角形
∴AB=AC，∠ABC=∠C
又∵PR⊥BC
∴∠RPC=90°
∴∠C+∠R=90°，∠PBQ+∠BQP=90°
∵∠ABC=∠PBQ
∴∠AQR=∠R
∴AR=AQ

點評 本題考查等腰三角形的判定，解題的關鍵是利用AB=AC，∠B=∠C以及同角的余角相等求證∠AQR=∠R，本題屬于中等題型．