Question

4．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）（m＞0）與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，且點A在點B的左側．
（1）若拋物線過點G（2，2），求實數m的值；
（2）在（1）的條件下，解答下列問題：
①求出△ABC的面積；
②在拋物線的對稱軸上找一點H，使AH+CH最小，并求出點H的坐標；
（3）在第四象限內，拋物線上是否存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點G的坐標代入拋物線的解析式中可求得m的值；
（2）①根據（1）中的m值寫出拋物線的解析式，分別求拋物線與x軸和y軸的交點坐標，根據坐標特點寫出AB和OC的長，利用三角形面積公式求△ABC的面積；
②由對稱性可知：x=1，點A和B關于拋物線的對稱軸對稱，所以由軸對稱的最短路徑可知：連接BC與對稱軸的交點即為點H，依據待定系數法可求得直線BC的解析式，將x=1代入得：y=$\frac{3}{2}$，則點H的坐標為（1，$\frac{3}{2}$）；
（3）在第四象限內，拋物線上存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似，根據∠ACB與∠ABM為鈍角，分兩種情況考慮：①當△ACB∽△ABM時；②當△ACB∽△MBA時，利用相似三角形的判定與性質，確定出m的值即可．

解答 解：（1）把點G（2，2）代入拋物線y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）中得：
2=-$\frac{1}{m}$（2+2）（2-m），
m=4；

（2）①由（1）得拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-4），
當x=0時，y=-$\frac{1}{4}$（0+2）（0-4）=2，
∴C（0，2），
∴OC=2，
當y=0時，-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-4）=0，
x=-2或4，
∴A（-2，0），B（4，0），
∴AB=2+4=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×6×2=6；
則△ABC的面積是6；

②∵A（-2，0），B（4，0），
由對稱性得：拋物線的對稱軸為：x=1，
∵點A和B關于拋物線的對稱軸對稱，
∴連接BC與對稱軸的交點即為點H，
此時AH+CH為最小，
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
把B（4，0），C（0，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
當x=1時，y=$\frac{3}{2}$，
∴H（1，$\frac{3}{2}$）；

（3）存在符合條件的點M，
由圖形可知：∠ACB與∠ABM為鈍角，
分兩種情況考慮：
①當△ACB∽△ABM時，則有 $\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AM}$，即AB²=AC•AM，
∵A（-2，0），C（0，2），即OA=OC=2，
∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，
如圖2，過M作MN⊥x軸于N，則AN=MN，
∴OA+ON=2+ON=MN，
設M（x，-x-2）（x＞0），
把M坐標代入拋物線解析式得：-x-2=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m），
∵x＞0，
∴x+2＞0，
∵m＞0，
∴x=2m，即M（2m，-2m-2），
∴AM=$\sqrt{（2m+2）^{2}+（-2m-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$（m+1），
∵AB²=AC•AM，AC=2 $\sqrt{2}$，AB=m+2，
∴（m+2）²=2 $\sqrt{2}$•2 $\sqrt{2}$（m+1），
解得：m=2±2 $\sqrt{2}$，
∵m＞0，
∴m=2+2 $\sqrt{2}$；
②當△ACB∽△MBA時，則 $\frac{AB}{AM}=\frac{CB}{BA}$，即AB²=CB•MA，
∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，
∴△ANM∽△BOC，
∴$\frac{MN}{AN}=\frac{OC}{BO}$，
∵OB=m，設ON=x，
∴$\frac{MN}{2+x}$=$\frac{2}{m}$，即MN=$\frac{2}{m}$（x+2），
令M[x，-$\frac{2}{m}$（x+2）]（x＞0），
把M坐標代入拋物線解析式得：-$\frac{2}{m}$（x+2）=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m），
同理解得：x=m+2，即M[m+2，-$\frac{2}{m}$（m+4）]，
∵AB²=CB•MA，CB=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，AN=m+4，MN=$\frac{2}{m}$（m+4），
∴（m+2）²=$\sqrt{{m}^{2}+4}$•$\sqrt{（m+4）^{2}+\frac{4（m+4）^{2}}{{m}^{2}}}$，
整理得：$\frac{16}{m}$=0，顯然不成立，
綜上，在第四象限內，當m=2 $\sqrt{2}$+2時，拋物線上存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似．

點評 本題是二次函數綜合題，主要考查的是軸對稱路徑最短問題、待定系數法確定函數解析式、坐標與圖形性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．