Question

9．如圖，P為正方形ABCD邊BC上任一點(diǎn)，BG⊥AP于點(diǎn)G，在AP的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使AG=GE，連接BE，CE．

（1）如圖1，若正方形的邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，PB=1，求BG的長(zhǎng)度；
（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：CE=$\sqrt{2}$BG；
（3）如圖3，∠CBE的平分線交AE于N點(diǎn)，連接DN，求證：BN+DN=$\sqrt{2}$AN．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，求得AB=BE=2$\sqrt{2}$，再根據(jù)勾股定理，求得Rt△ABP中，AP=3，最后根據(jù)△ABP的面積，求得BG的長(zhǎng)；
（2）先過C作CH⊥AE于H，判定△BGP≌△CHP（AAS），根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等以及等腰三角形的性質(zhì)，得出△CEH為等腰直角三角形，進(jìn)而得到CE=$\sqrt{2}$CH=$\sqrt{2}$BG；
（3）先過點(diǎn)D作DH⊥AE于H先判定△BGN為等腰直角三角形，得出BG=GN，BN=$\sqrt{2}$GN，再判定△ADH≌△BAG（AAS），得出AH=BG=GN，DH=AG，進(jìn)而得到HN=HG+GN=HG+AH=AG，DH=HN，再根據(jù)△DHN為等腰直角三角形，得出DN=$\sqrt{2}$HN=$\sqrt{2}$AG，最后得到BN+DN=$\sqrt{2}$GN+$\sqrt{2}$AG=$\sqrt{2}$AN．

解答 （1）解：∵AG=GE，BG⊥AP，
∴AB=BE=2$\sqrt{2}$，
∵正方形ABCD中，∠ABP=90°，AB=2$\sqrt{2}$，PB=1，
∴Rt△ABP中，AP=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=3，
∵△ABP的面積=$\frac{1}{2}$×AP×BG=$\frac{1}{2}$×AB×BP，
∴BG=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
（2）證明：如圖2，過C作CH⊥AE于H，
∵BG⊥AE，
∴∠BGP=∠CHP=90°，
∵P為BC的中點(diǎn)，
∴BP=CP，
在△BGP和△CHP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BGP=∠CHP}&{\;}\\{∠BPG=∠CPH}&{\;}\\{BP=CP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BGP≌△CHP（AAS），
∴BG=CH，∠GBP=∠PCH，
∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠ABC=∠ABG+∠GBP=90°，∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠GBP=∠BAG，
∴∠PCH=∠BEP，
∵AB=BC，AB=BE，
∴BC=BE，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠HCE=∠HEC，
∴CH=EH，
∵∠CHE=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$CH，即CE=$\sqrt{2}$BG；
（3）解：如圖3，過點(diǎn)D作DH⊥AE于H
∵BN平分∠CBE，
∴∠CBN=∠EBN，
由（2）可知∠GBP=∠BEP，
∵BG⊥AE，
∴∠GBP+∠PBN=45°，即∠GBN=45°=∠GNB，
∴BG=GN，BN=$\sqrt{2}$GN，
∵DH⊥AP，∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠ADH=∠DAH+∠BAD=90°，
∴∠ADH=∠BAG，
在△ADH和△BAG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADH=∠BAG}&{\;}\\{∠AHD=∠AGB}&{\;}\\{AD=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△BAG（AAS），
∴AH=BG=GN，DH=AG，
∴HN=HG+GN=HG+AH=AG，
∴DH=HN，
∵∠DHN=90°，
∴DN=$\sqrt{2}$HN=$\sqrt{2}$AG，
∴BN+DN=$\sqrt{2}$GN+$\sqrt{2}$AG=$\sqrt{2}$AN．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的綜合運(yùn)用等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．