Question

19．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，⊙C與AB相切于點D，交⊙O于E、F兩點，連接ED并延長交⊙O于G點，連接CG、FG．
（1）求證：GC平分∠EGF；
（2）求證：GD=GF；
（3）若CD=3，求GD•DE的值．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接CF，由CF=CE，推出$\widehat{CF}$=$\widehat{CE}$，推出∠CGF=∠CGE，即可證明．
（2）作CM⊥GD于M，CN⊥GF于N．先證明△CDM≌△CFN，推出∠CDM=∠CFN，∠GFC=∠GDC，再證明△GCF≌△GCD即可．
（3）如圖，連接AC．只要證明AD•DB=DC²，AD•DB=DG•DE即可．

解答 （1）證明：如圖，連接CF．
∵CF=CE，
∴$\widehat{CF}$=$\widehat{CE}$，
∴∠CGF=∠CGE，
∴GC平分∠EGF．

（2）證明：作CM⊥GD于M，CN⊥GF于N．
∵∠CGF=∠CGE，
∴CM=CN，
在Rt△CDM和Rt△CNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CF}\\{CM=CN}\end{array}\right.$
∴△CDM≌△CFN，
∴∠CDM=∠CFN，
∴∠GFC=∠GDC，
在△GCF和△GCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CGF=∠CGD}\\{∠CFG=∠GDC}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△GCF≌△GCD，
∴GF=GD．

（3）解：如圖，連接AC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴△ACD∽△CMD，
∴CD²=AD•DB，
∵DG•DE=AD•DB，
∴DG•DE=CD²=9．

點評 本題考查切線的性質、相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會添加常用輔助線，構造全等三角形，屬于中考常考題型．