Question

11．M是BC邊的中點，I為內心，連接M、I交AB邊于D，連接CI交外接圓于E，證明：$\frac{DE}{EI}$=$\frac{BI}{CI}$．

Answer 1

分析 延長IM到F，使得MF=IM，延長CE交∠ABC的外角平分線于G，設CE交AB于N，∠B=2β，∠C=2α，連接CF、BF、GD、BE．首先證明DG∥BC，推出∠CGD=∠BCG=α，推出∠BGD=∠EBG+α=∠EGB+α=∠GBD，由△GDE≌△BDE，推出∠GDE=∠BDE，由DG∥BC，推出∠GDN=∠CBD=2β，推出∠BDE=β=∠DBI，推出DE∥BI∥CF，即可解決問題．

解答 證明：延長IM到F，使得MF=IM，延長CE交∠ABC的外角平分線于G，設CE交AB于N，∠B=2β，∠C=2α，連接CF、BF、GD、BE．
∵BM=CM，MF=IM，
∴四邊形IBFC是平行四邊形，
∴BI=CF，BF=CI，BF∥CI，
∵I是△ABC的內心，
∴∠ACE=∠BCE=α，∠ABI=∠CBI=β，∠ABE=∠BCE=α，
∵I是△ABC內心，G是△ABC的旁心，
∴∠GBI=90°，
∵∠EIB=α+β，∠EBI=α+β，
∴∠EBI=∠EIB，
∴EB=EI，
∵∠BGE+∠GIB=90°，∠EBG+∠EBI=90°，
∴∠EGB=∠EBG，
∴EG=EB=EI，
∵IN∥BF，
∴$\frac{DB}{DN}$=$\frac{BF}{NI}$=$\frac{CI}{NI}$①，
在△BCN中，由內外角平分線定理可知：$\frac{BC}{BN}$=$\frac{CL}{NI}$=$\frac{CG}{GN}$②，
由①②得到$\frac{DB}{DN}$=$\frac{CG}{GN}$，
∴$\frac{DB-DN}{DN}$=$\frac{CG-GN}{GN}$，
∴$\frac{BN}{DN}$=$\frac{CN}{GN}$，
∴DG∥BC，
∴∠CGD=∠BCG=α，
∴∠BGD=∠EBG+α=∠EGB+α=∠GBD，
∵DB=DG，DE=DE，EG=BE，
∴△GDE≌△BDE，
∴∠GDE=∠BDE，
∵DG∥BC，
∴∠GDN=∠CBD=2β，
∴∠BDE=β=∠DBI，
∴DE∥BI∥CF，
∴$\frac{DE}{EI}$=$\frac{CF}{CI}$=$\frac{BI}{CI}$．

點評 本題考查三角形內心、外心、全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質，平行線的性質、角平分線的性質定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，題目比較難，屬于競賽題目．