Question

6．如圖，已知等腰梯形ABCD的面積為4k，點A的坐標是（x₁，0），點B的坐標是（x₂，1），點A、B在直線y=$\frac{1}{k}$x-1（k＞0，k是不為0的常數(shù)）上，經(jīng)過A、B、C、D四點的拋物線y=ax²+bx+c，它的頂點在直線y=（n-3）x+3-n上，
（1）求A、B、C、D的坐標；
（2）求拋物線的解析式（用含k的式子表示）；
（3）求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，由平行線的距離相等得：CE=BF，證明Rt△CED≌Rt△BFA（HL），得ED=AF；根據(jù)直線y=$\frac{1}{k}$x-1求出A、B兩點的坐標，則AF=2k-k=k，由等腰梯形ABCD的面積求OD和CG的長，表示出C、D兩點的坐標；
（2）先根據(jù)交點式設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2k）（x-k），把B點的坐標代入可求得解析式；
（3）根據(jù)（2）中的解析式求出頂點坐標，代入直線y=（n-3）x+3-n可求得結(jié)論．

解答 解：（1）分別過B、C作x軸的垂線，垂足分別為F、E，
當(dāng)y=0時，$\frac{1}{k}$x-1=0，
x=k，
∴A（k，0），
∴OA=k，
當(dāng)y=1時，$\frac{1}{k}$x-1=1，
x=2k，
∴B（2k，1），
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AB=CD，AD∥BC，且A、D在x軸上，
∴BC⊥y軸，
∴BG=2k，
∴AF=OF-OA=2k-k=k，
∵AD∥BC，
∴CE=BF，
∵∠CED=∠AFB=90°，
∴Rt△CED≌Rt△BFA（HL），
∴ED=AF=k，
即CG-OD=DE=k，
∵等腰梯形ABCD的面積為4k，
∴$\frac{1}{2}$（AD+BC）×OG=4k，
∵OG=1，
∴$\frac{1}{2}$（AD+BC）=4k，
AO+OD+BG+CG=8k，
∴OD+CG=5k，
∴CG=3k，OD=2k，
∴D（-2k，0），C（-3k，1）；
綜上所述，A（k，0），B（2k，1），D（-2k，0），C（-3k，1）；
（2）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2k）（x-k），
把B（2k，1）代入得：1=a（2k+2k）（2k-k），
a=$\frac{1}{4{k}^{2}}$，
∴y=a（x+2k）（x-k）=$\frac{1}{4{k}^{2}}$（x²+kx-2k²）=$\frac{{x}^{2}}{4{k}^{2}}$+$\frac{x}{4k}$-$\frac{1}{2}$；
（3）y=$\frac{1}{4{k}^{2}}$（x²+kx-2k²）=$\frac{1}{4{k}^{2}}$（x+$\frac{k}{2}$）²-$\frac{9}{16}$；
頂點為：（-$\frac{k}{2}$，-$\frac{9}{16}$），
∵該拋物線的頂點在直線y=（n-3）x+3-n上，
∴（n-3）$•（-\frac{k}{2}）$+3-n=-$\frac{9}{16}$，
解得：k=$\frac{\frac{57}{8}-2n}{n-3}$，
∵k＞0，
∴$\frac{\frac{57}{8}-2n}{n-3}$＞0，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{57}{8}-2n＞0}\\{n-3＞0}\end{array}\right.$   或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{57}{8}-2n＜0}\\{n-3＜0}\end{array}\right.$，
解得：3＜n$＜\frac{57}{16}$．

點評 本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)等，本題運用的知識點較多，有難度，屬于字母系數(shù)的函數(shù)關(guān)系；把函數(shù)和四邊形、三角形的證明結(jié)合在一起，注意點的坐標特征和線段的關(guān)系．