Question

18．函數學習中，自變量取值范圍及相應的函數值范圍問題是大家關注的重點之一，請解決下面的問題．
（1）分別求出當2≤x≤4時，兩個函數：y=2x+1，y=2（x-1）²+1的最大值和最小值；
（2）若y=$\frac{2}{x}$的值不大于2，求符合條件的x的范圍；
（3）y=2（x-m）²+m-2，當2≤x≤4時有最小值為1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據k=2＞0結合一次函數的性質即可得出：當2≤x≤4時，y=2x+1的最大值和最小值；根據二次函數的解析式結合二次函數的性質即可得出：當2≤x≤4時，y=2（x-1）²+1的最大值和最小值；
（2）令y=$\frac{2}{x}$≤2，解之即可得出x的取值范圍；
（3）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三種情況考慮，根據二次函數的性質結合當2≤x≤4時有最小值為1即可得出關于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出結論．

解答 解：（1）∵在一次函數y=2x+1中k=2＞0，
∴y隨x的增大而增大．
∴當x=2時，y_最小=5；當x=4時，y_最大=9．
∵在二次函數y=2（x-1）²+1中a=2＞0，且對稱軸為x=1，
∴當x=2時，y_最小=3；當x=4時，y_最大=19．
（2）令y=$\frac{2}{x}$≤2，
解得：x＜0或x≥1．
∴符合條件的x的范圍為x＜0或x≥1．
（3）當m＜2時，有2（2-m）²+m-2=1，
解得：m₁=1，m₂=$\frac{5}{2}$（舍去）；
當2≤m≤4時，有m-2=1，
解得：m₃=3；
當m＞4時，有2（4-m）²+m-2=1，
整理得：2m²-15m+29=0．
∵△=（-15）²-4×2×29=-7，
∴m的值為1或3．

點評 本題考查了反比例函數的性質、一次函數的性質、二次函數的性質以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）根據一次（二次）函數的性質解決最值問題；（2）找出關于x的不等式；（3）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三種情況考慮．