Question

9．（1）如圖1．
①若已知∠AOB=90°，∠DOB=30°，射線OC平分∠DOB，射線OE平分∠AOD．求∠EOC的度數；
②若已知∠AOB=β，∠DOB=α，射線OC平分∠DOB，射線OE平分∠AOD，求∠EOC的度數；
（2）如圖2，已知∠AOD=120°，射線OP以每秒15°的速度，從射線OD開始逆時針向射線OA旋轉，到達射線OA之后又以同樣的角速度順時針返回，直到到達射線OD停止，射線OQ從射線OA開始，以每秒5°的速度順時針向射線OD旋轉，直到到達各自的目的地才停止，請問當過了幾秒時，∠POQ=$\frac{1}{2}$∠AOQ？

Answer 1

分析 （1）①由圖和題意知∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOD-$\frac{1}{2}$∠BOD，代入計算即可．
②由圖和題意知∠EOC=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠BOD）-$\frac{1}{2}$∠BOD，代入計算即可．
（2）由題意知，有兩種情況，①當OQ在OP左側，②當OQ在OP右側時，列出關于多少秒，∠POQ=$\frac{1}{2}$∠AOQ的方程，解方程即可．

解答 解：（1）①∵∠AOB=90°，∠DOB=30°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=120°，
∵射線OC平分∠DOB，射線OE平分∠AOD，
∴∠EOD=$\frac{1}{2}∠$AOD=60°，∠COD=$\frac{1}{2}$∠DOB=15°，
∴∠EOC=∠EOD-∠COD=45°；
②∵∠AOB=β，∠DOB=α，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=β+α，
∵射線OC平分∠DOB，射線OE平分∠AOD，
∴∠EOD=$\frac{1}{2}∠$AOD=$\frac{1}{2}$（α+β），∠COD=$\frac{1}{2}$∠DOB=$\frac{1}{2}$α，
∴∠EOC=∠EOD-∠COD=$\frac{1}{2}$β；
（2）分為兩種情況：
情況①當OQ在OP左側，t秒后∠POQ=$\frac{1}{2}$∠AOQ，
此時120-（5t+15t）=$\frac{1}{2}$×5t
解得t=$\frac{48}{9}$；
情況②當OQ在OP右側時，m秒后∠POQ=$\frac{1}{2}$∠AOQ，
此時5m-[（m-$\frac{120}{15}$）×15]=$\frac{5m}{2}$
解得：m=$\frac{48}{5}$
答：當過了$\frac{48}{9}$秒和$\frac{48}{5}$秒時，∠POQ=$\frac{1}{2}$∠AOQ．

點評 本題考查了角平分線的性質、角的和差關系及列方程解實際問題．解決本題的關鍵是看懂圖，分好類，列出關于時間的方程．