Question

4．已知：如圖，AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB=5，BC=8，CD=3，E為線段BC上一點．求：當AE=DE時，BE的長度，并確定此時∠AED的度數．

Answer 1

分析 設BE=x，利用勾股定理表示出AE²、DE²，然后根據AE=DE列出方程求出x，再利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△EDC全等根據全等三角形對應角相等可得∠AEB=∠D，再根據平角等于180°列式計算即可求出∠AED=90°．

解答 解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
設BE=x，在Rt△ABE和Rt△DCE中，根據勾股定理得，
AB²+BE²=AE²，DC²+CE²=DE²，
∵AE=DE，
∴AB²+BE²=DC²+CE²，
∴5²+x²=3²+（8-x）²，
解得x=3，
即BE=3，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{BE=CD=3}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴∠AEB=∠D，
∵∠CED+∠D=90°，
∴∠CED+∠AEB=90°，
∴∠AED=180°-∠CED-∠AEB=180°-90°=90°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握三角形全等的判定方法并利用勾股定理列式求出BE的長度是解題的關鍵．