Question

11．如圖所示，在四邊形ABFC，∠ACB=90°，BC垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF=AE
（1）試探究四邊形BECF是什么特殊的四邊形；
（2）當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECF是正方形？請回答并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據中垂線的性質：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC，BF=FC，又因為CF=AE，BE=EC=BF=FC，根據四邊相等的四邊形是菱形，所以四邊形BECF是菱形；
（2）由菱形的性質知，對角線平分一組對角，即當∠ABC=45°時，∠EBF=90°，有菱形為正方形，根據直角三角形中兩個角銳角互余得，∠A=45度．

解答 解：（1）四邊形BECF是菱形．
∵EF垂直平分BC，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠3=∠1，
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠4，
∴EC=AE，
∴BE=AE，
∵CF=AE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四邊形BECF是菱形．

（2）當∠A=45°時，菱形BECF是正方形．
證明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠1=45°，
∴∠EBF=2∠A=90°，
∴菱形BECF是正方形．

點評 本題考查菱形的判定和性質以及正方形的判定，有一定難度，解題關鍵是熟練掌握菱形的判定方法及性質并靈活運用．