Question

2．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D是AC邊上一點，連接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一點，以BE為直徑的⊙O經過點D，點F在弧DEB上．
（1）求證：AC是⊙O的切線．
（2）若∠A=∠F，⊙O的半徑為2，求∠A的度數和陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據圓周角定理和三角形的外角的性質計算，得到∠COD+∠C=90°，根據切線的判定定理證明；
（2）根據圓周角定理得到∠BOD=2∠F，根據題意求出∠A，根據扇形面積公式計算，求出陰影部分的面積．

解答 解：（1）連接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠1，
由圓周角定理得，∠COD=∠1+∠ODB=2∠1，
∵∠C+∠A=90°，
∴∠COD+∠C=90°，
即OD⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）由圓周角定理得，∠BOD=2∠F，
∵∠A=∠F，
∴∠BOD=2∠A，
∴∠A=60°，∠BOD=120°，
陰影部分的面積=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}×$2×2×sin60°×2×cos60°=$\frac{4π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查的是切線的判定、扇形面積的計算，掌握經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線、扇形的面積公式是解題的關鍵．