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13.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=3cm,∠ABC的平分線交于點(diǎn)D,動(dòng)點(diǎn)P,Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以1cm/s的速度沿射線CA方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿射線CB方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),連接PQ,PD,QD.
(1)請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示線段PQ的長(zhǎng);
(2)求點(diǎn)D到AC的距離;
(3)設(shè)△PQD與△ABC的重疊部分圖形的面積為S(cm2).
①當(dāng)0<t<3時(shí),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
②直接寫出在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中S隨t的增大而增大時(shí)t的取值.

分析 (1)由題意PC=t,QC=2t,在Rt△PQC中,根據(jù)PQ=$\sqrt{P{C}^{2}+C{Q}^{2}}$,即可解決問(wèn)題.
(2)如圖1中,作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F.首先證明四邊形CFDE是正方形,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,由DE∥BC,可得$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$,即$\frac{x}{3}$=$\frac{6-x}{6}$,解方程即可解決問(wèn)題.
(3)①如圖2中,作MH⊥AC于M,MG⊥BC于G,則四邊形CGMH是正方形,設(shè)邊長(zhǎng)為y,分兩種情形a、當(dāng)0<t≤1.5時(shí),重疊部分是△PQD.b、當(dāng)1.5<t<3時(shí),重疊部分是△PKD,分別求解即可.
②分三種情形討論即可.a(chǎn)、當(dāng)0<t≤1.5時(shí),重疊部分是△PQD.b、當(dāng)1.5<t<3時(shí),重疊部分是△PKD,分別求解即可.c、當(dāng)t≥3時(shí),分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

解答 解:(1)由題意PC=t,QC=2t,
在Rt△PQC中,PQ=$\sqrt{P{C}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+(2t)^{2}}$=$\sqrt{5}$t.

(2)如圖1中,作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F.

∵∠ACB=90°,DC平分∠ACB,
∴∠DCE=∠DCF=∠DCE=∠CDF=45°,
∴EC=ED,F(xiàn)C=FD,
∵DF⊥BC,DE⊥AC,
∴DE=DF,
∴DE=DF=CF=EC,
∴四邊形CFDE是菱形,∠ECF=90°,
∴四邊形CFDE是正方形,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,
∵DE∥BC,
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$,
∴$\frac{x}{3}$=$\frac{6-x}{6}$,
∴x=2.
∴點(diǎn)D到AC的距離為2.

(3)①如圖2中,作MH⊥AC于M,MG⊥BC于G,則四邊形CGMH是正方形,設(shè)邊長(zhǎng)為y,

∵M(jìn)H∥CQ,
∴$\frac{MH}{CQ}$=$\frac{PH}{PC}$,
∴$\frac{y}{2t}$=$\frac{t-y}{t}$,
∴y=$\frac{2}{3}$t,
當(dāng)0<t≤1.5時(shí),重疊部分是△PQD,
∴S=(S△CQD-S△CQM)+(S△CPD-S△CPM)=$\frac{1}{2}$•2t(2-$\frac{2}{3}$t)+$\frac{1}{2}$•t•(2-$\frac{2}{3}$t)=$\frac{3}{2}$t(2-$\frac{2}{3}$t)=3t-t2
如圖3中,作PT∥AB交BC于T,QR⊥AB于R.

∵$\frac{PT}{AB}$=$\frac{PC}{AC}$=$\frac{CT}{BC}$,
∴$\frac{PT}{3\sqrt{5}}$=$\frac{t}{6}$=$\frac{CT}{3}$,
∴PT=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t,CT=$\frac{1}{2}$t,
∵BK∥PT,
∴$\frac{BK}{PT}$=$\frac{QB}{QT}$,
∴$\frac{BK}{\frac{\sqrt{5}}{2}t}$=$\frac{2t-3}{2t-\frac{1}{2}t}$,
∴BK=$\frac{\sqrt{5}}{3}$(2t-3),
當(dāng)點(diǎn)K與點(diǎn)D重合時(shí),$\frac{\sqrt{5}}{3}$(2t-3)=$\sqrt{5}$,解得t=3,
∴KD=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{3}$(2t-3)=2$\sqrt{5}$-$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$t,
由△QRB∽△DFB,可得$\frac{QR}{DF}$=$\frac{BQ}{DB}$,
∴$\frac{QR}{2}$=$\frac{2t-3}{\sqrt{5}}$,
∴QR=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$(2t-3),
∴當(dāng)1.5<t<3時(shí),重疊部分是△PKD,
S=S△PDQ-S△QDK=3t-t2-$\frac{1}{2}$•(2$\sqrt{5}$-$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$t)•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$(2t-3)=$\frac{1}{3}$t2-3t+6.
綜上所述,S=$\left\{\begin{array}{l}{3t-{t}^{2}}&{(0<t≤1.5)}\\{\frac{1}{3}{t}^{2}-3t+6}&{(1.5<t<3)}\end{array}\right.$.
②由①可知,當(dāng)0<t≤1.5時(shí),S隨t的增大而增大.
如圖4中,

當(dāng)t≥3時(shí),重疊部分是△PDK,S=$\frac{1}{2}$•DK•PH=$\frac{1}{2}$•[$\frac{\sqrt{5}}{3}$(2t-3)-$\sqrt{5}$]•$\frac{\sqrt{5}}{5}$(6-t)=-$\frac{1}{3}$t2+3t-6,
∵-$\frac{1}{3}$<0,開(kāi)口向下,對(duì)稱軸t=$\frac{9}{2}$,
∴3≤t<$\frac{9}{2}$時(shí),S隨t的增大而增大.
綜上所述,當(dāng)當(dāng)0<t≤1.5或3≤t<$\frac{9}{2}$時(shí),S隨t的增大而增大.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、正方形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí),學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題,學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決增減性問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.$\frac{m}{sinα}$B.mcosαC.msinαD.$\frac{m}{cosα}$

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“和為6”出現(xiàn)的頻數(shù)10132430375882110150
“和為6”出現(xiàn)的頻數(shù)0.500.430.400.330.310.320.340.330.33
解答下列問(wèn)題:
(1)如果實(shí)驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行下去,根據(jù)上表數(shù)據(jù),出現(xiàn)“和為6”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近,估計(jì)出現(xiàn)“和為6”的概率是0.33.
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(3)判斷x=5是否符合(1)的結(jié)論,若符合,請(qǐng)說(shuō)明理由,若不符合,請(qǐng)你寫出一個(gè)符合(1)的x的值.

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3.(1)若am=12,an=-2,求am-2n的值
(2)利用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算:9972

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