Question

13．將一副三角尺如圖①擺放（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）．點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經(jīng)過點C．

（1）求∠ADE的度數(shù)；
（2）如圖②，在圖①的基礎(chǔ)上將△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），此時的等腰直角三角尺記為△DE′F′，DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，求證：$\frac{PM}{CN}$=$\frac{PD}{CD}$．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根據(jù)∠ADE=∠ADC-∠EDF計算即可得解；
（2）只要證明△DPM和△DCN相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可證明．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，點D為AB的中點，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠ADC=180°-30°×2=120°，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDF=120°-90°=30°；

（2）∵∠EDF=90°，
∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，
∴∠PDM=∠CDN，
∵∠B=60°，BD=CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠BCD=60°，
∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，
∴∠CPD=∠BCD，
在△DPM和△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDM=∠CDN}\\{∠CPD=∠BCD}\end{array}\right.$，
∴△DPM∽△DCN，
∴$\frac{PM}{CN}$=$\frac{PD}{CD}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．