Question

1．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)-旋轉(zhuǎn)變換
（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC=130°，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°，得到△A′B′C，連接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，連接BB′，以A′為圓心，A′B′長(zhǎng)為半徑作圓．
（Ⅰ）猜想：直線BB′與⊙A′的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）連接A′B，求線段A′B的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到∠A′B′C=∠ABC=130°，∠BCB′=50°，CB=CB′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A′B′B的大小；
（2）（Ⅰ）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出∠A′B′B=90°，根據(jù)切線的判定定理證明；
（Ⅱ）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，∠A′B′C=∠ABC=130°，∠BCB′=50°，CB=CB′，
∴∠CB′B=65°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C-∠CB′B=65°；
（2）（Ⅰ）直線BB′與⊙A′相切，
∵∠A′B′C=∠ABC=150°，∠BCB′=60°，CB=CB′，
∴∠CB′B=60°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C-∠CB′B=90°，
∴直線BB′與⊙A′相切；
（Ⅱ）在Rt△A′B′B中，∠A′B′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，
由勾股定理得，A′B=$\sqrt{AB{′}^{2}+B′{B}^{2}}$=$\sqrt{34}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握切線的判定定理、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．