Question

11．如圖，直角坐標系中，O為原點，A（6，0），在等腰三角形ABO中，OB=BA=5，點B在第一象限，C（0，k）為y軸正半軸上一動點，作以∠CBD為頂角的等腰三角形CBD，且∠CBD=∠OBA，連接AD．
（1）①求點B的坐標；②若BD∥OC，求k的值．
（2）求證：OC=AD；
（3）設直線AD與y軸交于點M（0，m），當點C在y軸上運動時，點M的位置是否改變？若改變，求m與k的函數關系式；若不變，求m的值．

Answer 1

分析 （1）①利用等腰三角形的三線合一得出點B的橫坐標為3，再利用勾股定理即可得出點B的縱坐標為4即可；
②先判斷出△BOC是等腰三角形，即可得出點C在線段OB的垂直平分線上，先確定出直線OB解析式和OB中點坐標，即可得出CD的解析式即可；
（2）直接判斷出△OBC≌△ABD即可得出結論；
（3）證出∠BEO=∠BAM，EB=OB=5，得出AM=ME，OE=$\sqrt{E{A}^{2}-O{A}^{2}}$=8，因此AM=EM=8-m，由勾股定理得出方程，解方程求出m的值，即可得出結論．

解答 （1）：①過B作BH⊥OA于點H，如圖1所示：
∵OB=BA=5，OA=6，
∴OH=$\frac{1}{2}$OA=3，
∴BH=4，
∴B（3，4）；
②若BD∥OC，則點D在BH上，
∵∠COB=∠OBH=$\frac{1}{2}$∠OBA，∠CBD=∠OBA，
∴∠COB=∠OBC，
∴OC=BC，
過BI⊥OC于點I，
OI=BH=4，IC=4-k
∴（4-k）²+3²=k²，
解得：k=$\frac{25}{8}$；
（2）證明：∵∠CBD=∠OBA，
∴∠CBO=∠DBA，
∴BC=BD，OB=AB，
在△OBC和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BD}&{\;}\\{∠CBO=∠DBA}&{\;}\\{OB=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC=AD．
（3）解：點M的位置不變；理由如下：
延長AB交y軸于點E，如圖2所示：
由（2）知△OBC≌△ABD，
得：∠BOE=∠BAM，
∵OB=BA，∴∠BOA=∠BAO，
∵∠BOE+∠BOA=90°，∠BAO+∠BEO=90°，
∴∠BOE=∠BEO，
∴∠BEO=∠BAM，EB=OB=5
∴AM=ME，OE=$\sqrt{E{A}^{2}-O{A}^{2}}$=8，
∴AM=EM=8-m，
∵OM²+OA²=AM²，
∴（8-m）²=m²+6²，
解得：m=$\frac{7}{4}$，
∴點M的位置不變，m=$\frac{7}{4}$．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，勾股定理，平行線的性質等知識；解本題的關鍵是判斷出OC=AD，是一道中等難度的題目．