Question

19．如圖，已知數軸上有A、B、C三個點，它們表示的數分別是a、b和8，O是原點，且（a+20）²+|b+10|=0．
（1）填空：a=-20，b=-10；
（2）若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和C分別以每秒3個單位長度和7個單位長度的速度向右運動．設運動時間為t，用含t的代數式表示BC和AB的長；并探索：BC-AB的值是否隨著時間t的變化而變化？請說明理由．
（3）現有動點P、Q都從A點出發，點P以每秒1個單位長度的速度向終點C移動；當點P移動到B點時，點Q才從A點出發，并以每秒3個單位長度的速度向右移動，且當點P到達C點時，點Q就停止移動，設點P移動的時間為t秒，
問：①當t為多少時，點Q追上點P；
②當t為多少時，P、Q兩點相距6個單位長度？

Answer 1

分析 （1）根據偶次方以及絕對值的非負性即可求出a、b的值；
（2）設運動時間為t，由點A、B、C的運動規律找出點A、B、C表示的數，根據兩點間的距離公式可找出BC、AB，二者做差后即可得出結論；
（3）由點P、Q的運動規律找出點P、Q表示的數．
①根據路程=速度×時間即可列出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論；
②分0＜t≤10、10＜x≤15和15＜t≤28三種情況考慮，根據兩點間的距離公式結合PQ=6即可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論．

解答 解：（1）∵（a+20）²+|b+10|=0，
∴a+20=0，b+10=0，
∴a=-20，b=-10．
故答案為：-20；-10．
（2）BC-AB為定值，理由如下：
設運動時間為t，則點A表示的數為-t-20，點B表示的數為3t-10，點C表示的數為7t+8，
∴BC=7t+8-（3t-10）=4t+18，AB=3t-10-（-t-20）=4t+10，
∴BC-AB=4t+18-（4t+10）=8．
（3）經過t秒后，點P表示的數為t-20，點Q表示的數為$\left\{\begin{array}{l}{-20（0＜t≤10）}\\{3（t-10）-20（10＜t≤28）}\end{array}\right.$，
①根據題意得：t-20=3（t-10）-20，
解得：t=15，
∴當t=15秒時，點Q追上點P．
②（i）當0＜t≤10時，點Q還在點A處，
∴PQ=t-20-（-20）=t=6；
（ii）當10＜x≤15時，點P在點Q的右側，
∴（t-20）-[3（t-10）-20]=6，
解得：t=12；
（iii）當15＜t≤28時，點P在點Q的左側，
∴3（t-10）-20-（t-20）=6，
解得：t=18．
綜上所述：當t為6秒、12秒和18秒時，P、Q兩點相距6個單位長度．

點評 本題考查了一元一次方程的應用、數軸、兩點間的距離公式、絕對值以及偶次方的非負性，根據兩點間的距離公式結合點之間的關系列出一元一次方程是解題的關鍵，本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，細心仔細是得分的關鍵．