Question

2．我們把a(bǔ)、b中較小的數(shù)記作min{a，b}，設(shè)函數(shù)f（x）={2$\sqrt{x}$，|x-2|}．若動(dòng)直線y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂、x₃，則x₁x₂x₃的最大值為1．

Answer 1

分析 依照題意畫出函數(shù)圖象，并通過(guò)解方程組求出y=2$\sqrt{x}$與y=|x-2|的交點(diǎn)坐標(biāo)，由此即可確定m的取值范圍，不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，將y=m分別代入y=2$\sqrt{x}$、y=2-x、y=x-2中求出x₁、x₂、x₃的值，將其相乘再根據(jù)完全平方公式即可解決最值問(wèn)題．

解答 解：畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{x}}\\{y=2-x}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{x}}\\{y=x-2}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2\sqrt{3}}\\{y=2\sqrt{3}-2}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=4+2\sqrt{3}}\\{y=2\sqrt{3}+2}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A（4-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$-2），點(diǎn)B（4+2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$+2），
∵動(dòng)直線y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
∴0＜m＜2$\sqrt{3}$-2．
不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，
當(dāng)y=2$\sqrt{x}$=m時(shí)，x₁=$\frac{{m}^{2}}{4}$；
當(dāng)y=2-x=m時(shí)，x₂=2-m；
當(dāng)y=x-2=m時(shí)，x₃=2+m．
∵0＜m＜2$\sqrt{3}$-2，
∴2-m＞0，2+m＞0，
∴x₁x₂x₃=$\frac{{m}^{2}}{4}$（2-m）（2+m）=$\frac{1}{4}$m²（4-m²）≤$\frac{1}{4}$$（\frac{{m}^{2}+4-{m}^{2}}{2}）^{2}$=1，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=4-m²時(shí)，取等號(hào)，
∴m=$\sqrt{2}$時(shí)，x₁x₂x₃取最大值1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象以及完全平方公式，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合找出m的取值范圍是解題的關(guān)鍵．