Question

16．如圖，圓內(nèi)接△ABC中，AB=AC，弦AE與BC相交于點(diǎn)D．
（1）求證：AB²=AD•AE；
（2）如果弦AE的延長(zhǎng)線和BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，那么（1）中的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)畫出圖形，提出猜想并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）連接BE，由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理證出∠ABC=∠E，證明△ABD∽△AEB，得出對(duì)應(yīng)邊成比例即可；
（2）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角證出∠AEC=∠ACD，證明△ACE∽△ADC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例證出AC²=AD•AE，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接BE，如圖1所示：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠E=∠C，
∴∠ABC=∠E，
又∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴AB：AE=AD：AB，
∴AB²=AD•AE；
（2）解：（1）中的結(jié)論還成立；理由如下：
如圖2所示：連接CE，
∵∠ABC+∠AEC=180°，∠ACD+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，
∴∠AEC=∠ACD，
又∵∠CAE=∠DAC，
∴△ACE∽△ADC，
∴AC：AD=AE：AC，
∴AC²=AD•AE，
∵AB=AC，
∴AB²=AD•AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)；證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．