Question

7．正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，其中OA、OC分別在x軸和y軸上，如圖1所示，直線l經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P是直線l上的一點(diǎn)，當(dāng)△OPA的面積是3時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一點(diǎn)D（-1，2），點(diǎn)E是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出|BE+DE|的最小值和此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）若點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，對(duì)稱到x軸下方，直接寫出|BE-DE|的最大值，并寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，求出直線l的解析式為y=x+2．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m+2），由題意得$\frac{1}{2}$×2×|m+2|=3，解方程即可．
（2）如圖2中，連接OD交直線l于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所求，此時(shí)|BE+DE|=|OE+DE|=OD，OD即為最大值．求出直線OD的解析式，利用方程組求出等E坐標(biāo)即可．
（3）如圖3中，O與B關(guān)于直線l對(duì)稱，所以BE=OE，|BE-DE|=|OE-DE|．由兩邊之差小于第三邊知，當(dāng)點(diǎn)O，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，|OE-DE|的值最大，最大值為OD．求出直線OD的解析式，利用方程組求出交點(diǎn)E坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）如圖1中，

由題意知點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（-2，0）和（0，2）
設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b（k≠0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)C（0，2），
得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=x+2．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m+2），
由題意得$\frac{1}{2}$×2×|m+2|=3，∴m=1或m=-5．
∴P（1，3），P′（-5，-3）．

（2）如圖2中，連接OD交直線l于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為所求，此時(shí)|BE+DE|=|OE+DE|=OD，OD即為最大值．

設(shè)OD所在直線為y=k₁x（k₁≠0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（-1，2），
∴2=-k₁，
∴k₁=-2，
∴直線OD為y=-2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-2x}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
又∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，2），
∴由勾股定理可得OD=$\sqrt{5}$．
即|BE+DE|的最小值為$\sqrt{5}$．

（3）如圖3中，

∵O與B關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴BE=OE，∴|BE-DE|=|OE-DE|．
由兩邊之差小于第三邊知，當(dāng)點(diǎn)O，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，|OE-DE|的值最大，最大值為OD．
∵D（-1，-2），
∴直線OD的解析式為y=2x，OD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E（2，4），
∴|BE-D′E|的最大值為$\sqrt{5}$此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，解決最小值問(wèn)題，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，確定最大值問(wèn)題，屬于中考常考題型．