Question

14．在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點A（1，4），B（m，n）．
（1）求代數式mn的值．
（2）若二次函數y=a（x-2）²的圖象經過點B，求代數式m³n-2m²n+3mn-4n的值；
（3）若反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象與二次函數y=a（x-2）²的圖象只有一個交點，且該交點在直線y=x的下方，結合函數圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點A（1，4）和點B（m，n），橫縱坐標的乘積為定值得出mn=4；
（2）由二次函數y=（x-1）²的圖象經過點B，代入即可得出m，n的關系，再由mn=4，得出代數式m³n-2m²n+3mn-4n的值即可；
（3）先求得反比例函數的圖象與直線y=x的交點，再依次代入即可得出a的值，由二次函數y=a（x-1）²的頂點為（1，0），求得符合題意的a的取值范圍即可．

解答 解：（1）∵反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點A（1，4），
∴k=4，
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{4}{x}$，
∵反比例函數的圖象經過點B（m，n），
∴mn=4，
（2）∵二次函數y=（x-1）²的圖象經過點B，
∴n=（m-1）²，
由（1）得mn=4，
∴原式=mn（m²-2m+1）+2mn-4n
=4（m-1）²+8-4n=4n+8-4n
=8；
（3）由（1）的反比例函數的解析式為y=$\frac{k}{x}$，令y=x，得x²=4，解得x=±2，
反比例函數的圖象與直線y=x的交點為（2，2）（-2，-2），
當二次函數y=a（x-1）²的圖象經過點（2，2）時，可得a=2；
當二次函數y=a（x-1）²的圖象經過點（-2，-2）時，可得a=-$\frac{2}{9}$；
∵二次函數y=a（x-1）²的頂點為（1，0），
∴由圖象可得，符合題意的a的取值范圍是0＜a＜2或a＜-$\frac{2}{9}$．

點評 本題考查了二次函數與不等式（組），反比例函數的性質以及反比例函數和一次函數的交點問題，掌握用待定系數法求解析式是解題的關鍵．