Question

3．如圖，已知直線y=$\frac{3}{4}$x-3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P在以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動點，連結PA、PB，則△PAB面積的最大值是$\frac{21}{2}$．

Answer 1

分析 過點C作CD⊥AB于D，延長DP交⊙C于另一點P′，此時△P′AB的面積最大，將x=0、y=0代入y=$\frac{3}{4}$x-3中求出與之相對應的y、x的值，進而可得出點A、B的坐標，由∠ABO=∠CBD、∠AOB=∠CDB=90°即可證出△AOB∽△CDB，再根據相似三角形的性質求出CD的長度，將其+1即可得出DP′的長度，利用三角形的面積公式即可求出△PAB面積的最大值．

解答 解：過點C作CD⊥AB于D，延長DP交⊙C于另一點P′，此時△P′AB的面積最大，如圖所示．
當x=0時，y=-3，
∴點B（0，-3）；
當y=$\frac{3}{4}$x-3=0時，x=4，
∴點A（4，0）．
∵點C（0，1），
∴BC=1-（-3）=4，AO=4，BO=3，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=5．
∵∠ABO=∠CBD，∠AOB=∠CDB=90°，
∴△AOB∽△CDB，
∴$\frac{CD}{AO}=\frac{BC}{BA}$，
∴CD=$\frac{BC•AO}{BA}$=$\frac{16}{5}$，
∴DP′=CD+CP′=$\frac{16}{5}$+1=$\frac{21}{5}$．
∴S_△P′AB=$\frac{1}{2}$AB•P′D=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{21}{5}$=$\frac{21}{2}$．
故答案為：$\frac{21}{2}$．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定與性質以及三角形的面積，找出△PAB面積取最大值時點P的位置是解題的關鍵．本題屬于中檔題，難度不大，利用相似三角形的性質或者面積法求出CD的長度是解決此題的突破點．