Question

8．（1）如圖1，AB，CD是⊙O中的兩條弦，它們相交于點P，求證：PA•PB=PC•PD．
（2）如圖2，點P在⊙O內，⊙O的半徑為5cm，OP=3cm，過點P任意畫一條弦交⊙O于A，B兩點，根據（1）中的結論計算PA•PB的值．

Answer 1

分析 （1）連接AC、BD，根據圓周角定理得到∠C=∠B，∠A=∠D，證明△ACP∽△DBP，根據相似三角形的性質計算即可；
（2）根據相交弦定理計算即可．

解答 （1）證明：連接AC、BD，
由圓周角定理得，∠C=∠B，∠A=∠D，
∴△ACP∽△DBP，
∴$\frac{AP}{PD}$=$\frac{PC}{PB}$，
∴PA•PB=PC•PD；
（2）延長CO交⊙O于D，
則PD=5+3=8，PC=5-3=2，
由相交弦定理得，PA•PB=PC•PD=8×2=16．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、圓周角定理、相交弦定理的應用，掌握圓周角定理、相交弦定理是解題的關鍵．