Question

20．在平行四邊形ABCD中（∠B為銳角），AB=5，AD=7，點D關于直線AC的對稱點為點E，連接AE與BC交于G．
（1）若AG⊥BC，如圖（1），求tan∠BAG；
（2）若平行四邊形ABCD的面積為14$\sqrt{6}$，如圖（2），求BG的長．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質得出AD∥BC，BC=AD=7，得出∠DAC=∠BCA，由軸對稱的性質得出∠EAC=∠DAC，證出∠EAC=∠BCA，得出AG=CG，設BG=x，則AG=CG=7-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程即可進一步得出所求；
（2）作AH⊥BC于H，由平行四邊形的面積求出AH=2$\sqrt{6}$，由勾股定理求出BH=1，設BG=x，則CG=7-x，GH=x-1，同（1）得：AG=CG=7-x，在Rt△AHG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，BC=AD=7，
∴∠DAC=∠BCA，
∵點D關于直線AC的對稱點為點E，
∴∠EAC=∠DAC，
∴∠EAC=∠BCA，
∴AG=CG，
設BG=x，則AG=CG=7-x，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB=90°，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：BG²+AG²=AB²，
即x²+（7-x）²=5²，
解得：x=3或x=4，
∴當BG=3時，AG=4，tan∠BAG=$\frac{BG}{AG}$=$\frac{3}{4}$；
當BG=4時，AG=3，tan∠BAG=$\frac{BG}{AG}$=$\frac{4}{3}$；
∴tan∠BAG的值為$\frac{3}{4}$或$\frac{4}{3}$；
（2）作AH⊥BC于H，如圖2所示：
∵平行四邊形ABCD的面積=BC•AH=14$\sqrt{6}$，BC=7，
∴AH=2$\sqrt{6}$，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{25-24}$=1，
設BG=x，則CG=7-x，GH=x-1，
同（1）得：AG=CG，
∴AG=7-x，
在Rt△AHG中，AH²+GH²=AG²，
即（2$\sqrt{6}$）²+（x-1）²=（7-x）²，
解得：x=2，
即BG=2．

點評 本題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的判定、軸對稱的性質、勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質，由勾股定理得出方程是解決問題的關鍵．