Question

9．如圖，將二次函數(shù)y=x²-m（其中m＞0）的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，形成新的圖象記為y₁，另有一次函數(shù)y=x+b的圖象記為y₂，則以下說法：
①當(dāng)m=1，且y₁與y₂恰好有三個交點時b有唯一值為1；
②當(dāng)b=2，且y₁與y₂恰有兩個交點時，m＞4或0＜m＜$\frac{7}{4}$；
③當(dāng)m=-b時，y₁與y₂一定有交點；
④當(dāng)m=b時，y₁與y₂至少有2個交點，且其中一個為（0，m）．
其中正確說法的序號為②④．

Answer 1

分析 ①錯誤．如圖1中，當(dāng)直線y=x+b與拋物線相切時，也滿足條件只有三個交點．此時b≠1，故①錯誤．
②正確．如圖2中，當(dāng)拋物線經(jīng)過點（-2，0）時，0=4-m，m=4，觀察圖象可知m＞4時，y₁與y₂恰有兩個交點．
③錯誤．如圖3中，當(dāng)b=-4時，觀察圖象可知，y₁與y₂沒有交點，故③錯誤．
④正確．如圖4中，當(dāng)b=4時，觀察圖象可知，b＞0，y₁與y₂至少有2個交點，且其中一個為（0，b），故④正確．

解答 解：①錯誤．如圖1中，當(dāng)直線y=x+b與拋物線相切時，也滿足條件只有三個交點．此時b≠1，故①錯誤．

②正確．如圖2中，當(dāng)拋物線經(jīng)過點（-2，0）時，0=4-m，m=4，觀察圖象可知m＞4時，y₁與y₂恰有兩個交點．

由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-{x}^{2}+m}\end{array}\right.$消去y得到x²+x+2-m=0，當(dāng)△=0時，1-8+4m=0，
∴m=$\frac{7}{4}$，
觀察圖象可知當(dāng)0＜m＜$\frac{7}{4}$時，y₁與y₂恰有兩個交點．故②正確．
③錯誤．如圖3中，當(dāng)b=-4時，觀察圖象可知，y₁與y₂沒有交點，故③錯誤．

④正確．如圖4中，當(dāng)b=4時，觀察圖象可知，b＞0，y₁與y₂至少有2個交點，且其中一個為（0，b），故④正確．


故答案為②④

點評 本題考查二次函數(shù)與x軸的交點、一次函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)與方程的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用函數(shù)圖象解決問題，學(xué)會利用根的判別式解決函數(shù)圖象的交點問題，屬于中考常考題型．