Question

19．如圖，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，沿CD折疊，使點B落在CA邊上的B'處，展開后，再沿BE折疊，使點C落在BA邊上的C'處，CD與BE交于點F．
（1）求AC'的長度；
（2）求證：E為B'C的中點；
（3）比較四邊形EC'DF與△BCF面積的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據折疊求BC′=BC=3，再利用勾股定理求AB=5，可得結果；
（2）證明△AEC′∽△ABC，列比例式可求EC′=$\frac{3}{2}$，由折疊的性質得，CE=EC′=$\frac{3}{2}$，則E為B'C的中點；
（3）由圖形可得：S_△BDC=S_△BFC+S_△BDF，S_△EC′B=S_{四邊形EC′DF}+S_△BDF，只要比較△BDC和△EC′B的面積即可，作高線DG，根據三角函數求DG的長，分別求出兩三角形的面積作比較即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5，
由折疊的性質得，BC′=BC=3，
∴AC′=5-3=2；
（2）由折疊的性質得，∠AC′E=′ACB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AEC′∽△ABC，
∴$\frac{AC′}{AC}$=$\frac{EC′}{BC}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{EC′}{3}$，
∴EC′=$\frac{3}{2}$，
由折疊的性質得，CB′=BC=3，CE=EC′=$\frac{3}{2}$
∴CE=$\frac{1}{2}$CB′，
∴E為B'C的中點；
（3）結論：S_{四邊形EC′DF}＜S_△BCF，
理由是：如圖，過D作DG⊥BC于G，
由折疊得：∠DCB=∠ACD=45°，
∴DG=CG，
設DG=x，則CG=x，BG=3-x，
tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}=\frac{DG}{BG}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{x}{3-x}=\frac{4}{3}$，
x=$\frac{12}{7}$，
∴DG=$\frac{12}{7}$，
∴S_△BDC=$\frac{1}{2}$BC•DG=$\frac{1}{2}$×$3×\frac{12}{7}$=$\frac{18}{7}$，
∵S_△EC′B=S_△ECB=$\frac{1}{2}$BC•EC=$\frac{1}{2}$×$3×\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$，
∵$\frac{18}{7}＞\frac{9}{4}$，
∴S_△BDC＞S_△EC′B，
∵S_△BDC=S_△BFC+S_△BDF，
S_△EC′B=S_{四邊形EC′DF}+S_△BDF，
∴S_{四邊形EC′DF}＜S_△BCF．

點評 本題考查了折疊的性質、三角函數、勾股定理、等腰直角三角形的性質以及三角形面積的求法，熟練掌握折疊的性質是關鍵，第三問利用等式的性質比較△BDC和△EC′B的面積即可．