Question

2．已知，如圖，⊙O是△ABC的外接圓，OD⊥BC交⊙O于點D，CE平分∠ACB交AB于點E，交⊙O于點H，AD與CH相交于點G，延長CH到點M，使MH=HG，延長DA到點K，使AK=AG，CA的延長線交MK于點F，求證：ME=MF．

Answer 1

分析 如圖，連接AH、AM．首先證明∠HGA=∠HAG，推出HA=GH=HM，推出△MAG是直角三角形，即MA⊥KG，因為AG=AK，所以MG=MK，再證明△AGE≌△AKF，得EG=FK，即可解決問題．

解答 證明：如圖，連接AH、AM．

∵OD⊥BC，
∴$\widehat{DB}$=$\widehat{DC}$，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BCH=∠ACH，∠BCH=∠BAH，
∴∠BAH=∠ACH，
∵∠HGA=∠ACH+∠CAG，∠HAG=∠BAH+∠BAD，
∴∠HGA=∠HAG，
∴HA=GH=HM，
∴△MAG是直角三角形，
∴MA⊥KG，
∵AG=AK，
∴MG=MK，
∴∠AGE=∠K，
∵∠FAK=∠CAD，∠BAD=∠DAC，
∴∠EAG=∠FAK，
在△AGE和△AKF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠K}\\{AG=AK}\\{∠EAG=∠FAK}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△AKF，
∴EG=FK，∵M(jìn)G=MK，
∴ME=MF．

點評 本題考查圓綜合題、直角三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，本題的突破點是證明AM⊥GK，學(xué)會添加常用輔助線，所以中考壓軸題．