Question

12．如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊CD和BC上，且CD=4DE=4a，將矩形沿直線EF折疊，使點C恰好落在AD邊上點P處，則FP=3$\sqrt{2}$a．

Answer 1

分析 作PM⊥BC于M，則MP=DC=4a，由矩形的性質(zhì)得出∠C=∠D=90°．由折疊的性質(zhì)得出PE=CE=3a=3DE，∠EPF=∠C=90°，得出∠DPE=∠FPM，在Rt△MPF中，由三角函數(shù)求出FP即可．

解答 解：作PM⊥BC于M，如圖所示：
則MP=DC=4a，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=∠MPD=90°．
∵DC=4DE=4a，
∴CE=3a，DE=a，
由折疊的性質(zhì)得：PE=CE=3a=3DE，∠EPF=∠C=90°，
∴∠EPF=∠MPD
∴∠DPE=∠FPM，
DP=$\sqrt{P{E}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，
在Rt△MPF中，∵cos∠MPF=$\frac{PM}{PF}$，
∴FP=$\frac{PM}{cos∠MPF}$=$\frac{PM}{cos∠DPE}$=$\frac{PM}{\frac{PD}{PE}}$=$\frac{4a}{\frac{2\sqrt{2}a}{3a}}$=3$\sqrt{2}$a；
故答案為：3$\sqrt{2}$a．

點評 本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識；熟練掌握折疊和矩形的性質(zhì)，求出∠DPE的余弦值是解決問題的關鍵．