Question

3．如圖，正△ABC的三邊上有三點D，E，F，且AD=BE=CF，設AB=x，DE=y，△ADF的內切圓的半徑為$\sqrt{3}$，則關于x的函數關系式為（　　）

• A． y=x-6
• B． y=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$
• C． y=x-3
• D． y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$

Answer 1

分析 首先證明△DEF是等邊三角形，由S_△ADF=S_△BDE=S_△EFC=$\frac{1}{2}$（AD+AF+DF）•$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$（x+y）•$\sqrt{3}$，根據S_△ABC-S_△EDF=3•S_△ADF，可得$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$y²=3•$\frac{1}{2}$•（x+y）•$\sqrt{3}$，化簡后即可解決問題．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一個等邊三角形，
∵S_△ADF=S_△BDE=S_△EFC=$\frac{1}{2}$（AD+AF+DF）•$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$（x+y）•$\sqrt{3}$，
∵S_△ABC-S_△EDF=3•S_△ADF，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$y²=3•$\frac{1}{2}$•（x+y）•$\sqrt{3}$，
∴（x²-y²）=6（x+y），
∴（x+y）（x-y）=6（x+y），
∵x+y≠0，
∴x-y=6，
∴y=x-6．
故選A．

點評 題主要考查了等邊三角形的判定與性質和全等三角形判定及三角形面積公式，根據已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解題關鍵，解題的突破點是記住S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）•r（r是△ABC內切圓的半徑）．