Question

4．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC、BD交于點E，點F在邊AB上，連接CF交線段BE于點G，CG²=GE•GD．
（1）求證：∠ACF=∠ABD；
（2）連接EF，求證：EF•CG=EG•CB．

Answer 1

分析 （1）先根據CG²=GE•GD得出$\frac{CG}{GE}=\frac{GD}{CG}$，再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE．根據AB∥CD得出∠ABD=∠BDC，故可得出結論；
（2）先根據∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故$\frac{FG}{BG}=\frac{EG}{CG}$．再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，進而可得出結論．

解答 證明：（1）∵CG²=GE•GD，
∴$\frac{CG}{GE}=\frac{GD}{CG}$．
又∵∠CGD=∠EGC，
∴△GCD∽△GEC．
∴∠GDC=∠GCE．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC．
∴∠ACF=∠ABD．

（2）∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE，
∴△BGF∽△CGE．
∴$\frac{FG}{BG}=\frac{EG}{CG}$．
又∵∠FGE=∠BGC，
∴△FGE∽△BGC．
∴$\frac{FE}{BC}=\frac{EG}{CG}$．
∴FE•CG=EG•CB．

點評 本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵．