Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D在⊙O上，CD=AD，分別延長CD、BA相交于點E，且AE=$\sqrt{2}$OA，若BC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 連接AC，OD交于F，由CD=AD，得到$\widehat{CD}$=$\widehat{AD}$，根據垂徑定理得到OD⊥AC，AD=CF，根據三角形的中位線的性質得到OF∥BC，根據相似三角形的性質得到$\frac{OD}{BC}=\frac{OE}{BE}$，于是得到結論．

解答 解：連接AC，OD交于F，
∵CD=AD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{AD}$，
∴OD⊥AC，AD=CF，
∵AO=BO，
∴OF∥BC，
∵OD∥BC，
∴△ODE∽△BEC，
∴$\frac{OD}{BC}=\frac{OE}{BE}$，
∵AE=$\sqrt{2}$OA，
∴$\frac{OA}{6}=\frac{（1+\sqrt{2}）OA}{（2+\sqrt{2}）OA}$，
∴OA=3$\sqrt{2}$．
∴⊙O的半徑是3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形的中位線的性質，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．